1937年，意大利的蕾西先后证明了“5+7”，“4+9”，“3+15”和“2+366”。

  1938年，苏联的布赫夕太勃证明了“5+5”。

  1940年，苏联的布赫夕太勃证明了“4+4”。

  1948年，匈牙利的瑞尼证明了“1+c”，其中c是一很大的自然数。

  1956年，中国的王元证明了“3+4”。稍后证明了“3+3”和“2+3”。

  1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了“1+5”，中国的王元证明了“1+4”。

  1965年，苏联的布赫夕太勃和小维诺格拉多夫，及意大利的朋比利证明了“1+3”。

  1966年，中国的陈景润证明了“1+2”。

  在数轴上取定大整数x，再从x往前看，寻找使得哥德巴赫猜想不成立的那些偶数，即例外偶数。

  x之前所有例外偶数的个数记为e。

  很多人希望无论x多大，x之前只有一个例外偶数，那就是2，即只有2使得猜想是错的。这样一来，哥德巴赫猜想就等价于e永远等于1。当然，直到2013年还不能证明e=1；

  但是。

  能够证明e远比x小。

  在x前面的偶数个数大概是x2；如果当x趋于无穷大时，e与x的比值趋于零，那就说明这些例外偶数密度是零，即哥德巴赫猜想对于几乎所有的偶数成立。

  这就是例外集合的思路。

  ……

  维诺格拉多夫的三素数定理发表于1937年。第二年，在例外集合这一途径上，就同时出现了四个证明，其中包括华罗庚先生的着名定理。

  如果偶数的哥德巴赫猜想正确，那么奇数的猜想也正确。我们可以把这个问题反过来思考。已知奇数n可以表成三个素数之和，假如又能证明这三个素数中有一个非常小，譬如说第一个素数可以总取3，那么我们也就证明了偶数的哥德巴赫猜想。

  这个思想就促使潘承洞先生在1959年，即他25岁时，研究有一个小素变数的三素数定理。

  这个小素变数不超过n的θ次方。

  我们的目标是要证明θ可以取0，即这个小素变数有界，从而推出偶数的哥德巴赫猜想。潘承洞先生首先证明θ可取14。

  后来的很长一段时间内，这方面的工作一直没有进展，直到1995年展涛教授把潘老师的定理推进到7120。这个数已经比较小了，但是仍然大于0。

  ……

  1953年，林尼克发表了一篇长达70页的论文。

  在论文中，他率先研究了几乎哥德巴赫问题，证明了……存在一个固定的非负整数k，使得任何大偶数都能写成两个素数与k个2的方幂之和。

  这个定理看起来好像丑化了哥德巴赫猜想，实际上它是具有非常深刻意义的。

  这个定理让人们注意，能写成k个2的方幂之和的整数构成一个非常稀疏的集合；

  事实上，对任意取定的x，x前面这种整数的个数不会超过logx的k次方。

  因此，当林尼克定理出现，许多人通过它，了解到一点，虽然还不能证明哥德巴赫猜想，但是大家却能够在整数集合中找到一个非常稀疏的子集，每次从这个稀疏子集里面拿一个�